Ciąg Fibonacciego (liczby i złota proporcja)

Leonardo Pisano, powszechnie znany jako Fibonacci, urodził się w 1175 roku
i był wybitnym matematykiem swego czasu. Udało mu się wyprzeć stosowaną do tej pory powszechnie numerację rzymską, zastępując ją zdecydowanie wygodniejszymi liczbami arabskimi.

Wiele lat po śmierci, stworzone przez niego teorie przyczyniły się znacząco do poszerzenia wiedzy w dziedzinie rynków kapitałowych. Stało się tak dzięki wymyślonej przez niego sekwencji liczb, noszącej dziś nazwę ciągu Fibonacciego.

Ciąg Fibonacciego – własności liczb

Ciąg Fibonacciego jest tworzony według prostej zasady:

f₁ = f₂ = 1

f_n+1 = f_n + f_n-1

Jego początek przybiera zatem postać: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …, ∞

Na pierwszy rzut oka, nie ma nic w nim nadzwyczajnego, lecz po dokładnym przeanalizowaniu liczb następujących po sobie, można zauważyć szereg interesujących właściwości.

1. Początek ciągu to dwie jedynki, a każda kolejna liczba, to suma dwóch poprzednich liczb, na przykład:

1+1=2

2+3=5

13+21=34

2. Stosunek każdych dwóch kolejnych liczb (zwany phi) jest przybliżeniem 0,618, wyłączając pierwsze cztery (1/1=100; 1/2=0,5; 2/3= 0,67; 3/5=0,60). Przykładowo:

5/8=0,625

8/13=0,615

3. Stosunek dowolnego wyrazu ciągu do poprzedzającego go wyrazu wynosi 1,618, czyli odwrotność 0,618. Na przykład:

21/13=1,615

55/34=1,617

Współczynnik ten określany był w swojej historii na różne sposoby, najpopularniejszym wydaje się jednak być miano „boskiej proporcji”, jakim obdarzył go średniowieczny matematyk Luca Pacioli.

4. Stosunek liczb oddalonych o dwa wyrazy wynosi w przybliżeniu 2,618. Oto przykład:

55/21=2,619

144/55=2,618

5. Stosunek wcześniejszego wyrazu do wyrazu dalszego, czyli odwrotność wielkości z punktu 4, wynosi 0,382. Na przykład:

21/55=0,381

55/144=0,382

6. Kwadrat dowolnego wyrazu jest równy iloczynowi liczby wcześniejszej i liczby następnej powiększonemu lub pomniejszonemu o jeden. Przykładowo:

8²=(5*13)-1

13²=(8*21)+1

Zasada proporcji

Pojęcie boskiej proporcji znane jest od czasów starożytności. Liczba phi odegrała olbrzymią rolę w przyrodzie, architekturze, malarstwie, muzyce i wielu innych dziedzinach życia. Nawet opatrzone przedmioty, takie jak karty do gry, okładki książek, czy okna porównywalne są do złotych prostokątów.

Współczynnik Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii, czego przykładem są poniżej opisane: złoty podział odcinka, złoty prostokąt, czy złota spirala.

Złoty podział odcinka

Współczynniki Fibonacciego tworzą „złoty podział środka”. Każdy odcinek można podzielić w taki sposób, że relacja zachodząca pomiędzy mniejszą i większą częścią, równa jest relacji pomiędzy większą częścią a całością i wynosi ona 0,618.

Poniższy schemat przedstawia tę zależność:

Długość całego odcinka jest równa 10, jego mniejsza część wynosi 3,82, a większa 6,18. Zatem, 3,82 podzielone na 6,18 wynosi 0,618, natomiast 6,18 podzielone na 10 daje 0,618.

Ze złotym podziałem człowiek spotyka się w przyrodzie, a co więcej, nawet na ludzkim ciele. Z badań statystycznych wynika, że wysokość na jakiej znajduje się pępek wynosi 0,618 bez względu na to, czy jest to kobieta, czy mężczyzna.

Złoty prostokąt

Zgodnie z definicją, złoty prostokąt jest 1,618 razy dłuższy niż szerszy. Własności złotego prostokąta da się dobrze zobrazować zaczynając od kwadratu. Przyjmując, że boki poniższego kwadratu wynoszą po 2, przekątna x łącząca środek jednego z boków z przeciwległym wierzchołkiem wynosi pierwiastek z 5.

Liczba ta wynika z twierdzenia Pitagorasa, co obrazuje poniższy schemat:

Następnie należy przedłużyć odcinek CD tak, by odcinek EG miał długość równą pierwiastkowi kwadratowemu z 5. Prostokąt AFGC jest złotym prostokątem:

Długość odcinka CG wynosi 1+ pierwiastek z 5 czyli 3,236, natomiast długość odcinka AC jest równa 2. Zatem według definicji 3,236 podzielone na 2 daje 1,618 czyli phi.

Złoty podział miał ogromne znaczenie w wielu dziedzinach życia, przede wszystkim w malarstwie i w architekturze. Przykładem może być Leonardo Da Vinci, który posługiwał się złotym podziałem dla zwiększenia mocy oddziaływania swych obrazów.

Złota proporcja zachowana jest również w ateńskim Partenonie. Budowla ta powstała w piątym wieku p.n.e. i opierała się na trójkątnym frontonie, który posiadał wymiary odpowiadające dokładnie Złotemu Prostokątowi.

Złota spirala

Złota spirala jest symbolem estetycznego dynamizmu, jak też wyrazem uporządkowanego postępu. Jej istnienie sięga milionów lat, a przykłady w których występuje można mnożyć. Muszle ślimaków i mięczaków, koniki morskie, fale oceanu, szyszki sosny, paprocie, rogi zwierzęce, nasiona słonecznika i stokrotki również tworzą spirale logarytmiczne.

Poniższa rycina, przedstawia spiralę mirabilis widoczną w muszli łodzika:

Kolejne komory muszli zbudowane są w oparciu o schemat spirali logarytmicznej. Ich kształt pozostaje bez zmian pomimo to, iż muszla rośnie, a co za tym idzie, komory są coraz większe.

Spirala ta ma miano najpiękniejszej z matematycznych krzywych. Wiąże się ona ściśle ze złotym podziałem oraz ciągiem Fibonacciego.

Geometryczną formę złotej spirali można przedstawić za pomocą złotego prostokąta, po podzieleniu go na kwadrat i mniejszy złoty prostokąt. Ten schemat postępowania można prowadzić bez końca:

Oznaczenia A, B, C, D, E, F, G to nic innego jak kolejno po sobie powstające kwadraty wędrujące do wewnątrz. Pozostające ze sobą w złotych proporcjach linie przerywane przecinają prostokąty, wskazując teoretyczne centrum tego dośrodkowego ruchu. Z tego punktu można wykreślić spiralę łączącą punkty styczne kolejnych, coraz większych kwadratów.

Dzięki powyższym zabiegom powstaje złota spirala.

Jej dwa segmenty mogą różnić się wielkością, lecz zawsze będą tego samego kształtu. Można tę krzywą przedłużać na zewnątrz czy do wewnątrz bez końca, nie zmieniając jej formy. Łączy ona ciąg Fibonacciego ze światem natury.

Kształt spirali widoczny jest również na rynkach kapitałowych podczas gwałtownych zwrotów, gdy formacje behawioralne są najsilniej zauważalne. Doskonałym tego przykładem jest krach z października 1987 roku. Spirala logarytmiczna jako jedyna z metod analizy wyznaczyła z dużą dokładnością dno spadku:

Poziom docelowy spadku wyznaczony spiralą logarytmiczną z ogniskiem w punkcie B i początkiem w punkcie A. Punkt C łączący spiralę z wykresem indeksu S&P 500 ukazuje dno spadku. Symetria zachodząca w powyższym przykładzie świadczy o tym, że ruchy cen nie są przypadkowe.

Jeśli uda się znaleźć ognisko spirali, to jest szansa na odkrycie punktów zwrotnych. Aby to uczynić, należy odwołać się do reguły zmienności odkrytej przez Ralpha Elliotta i opisanej w innym z artykułów.

Rola ciągu Fibonacciego w analizie technicznej

Liczby i współczynniki Fibonacciego odgrywają olbrzymią role w analizie technicznej, ponieważ odwrócenia trendów często przebiegają na poziomach zgodnych
z tymi wielkościami.

Przykładowo, gdy cena wzrośnie do 1,38, 1,62 lub dwukrotności poprzedniego ruchu, to należy się spodziewać, że nastąpi korekta. Inaczej mówiąc, istnieją duże szanse, że będzie to 38, 62 lub 100 procent wielkości tego ruchu.

Źródła:

1. R. Fisher, Liczby Fibonacciego na giełdzie, WIG – PRESS, Warszawa 1996
2. P. Surdel, Forex – analiza techniczna, Internetowe Wydawnictwo Złote Myśli, Poznań 2004
3. A. J. Frost, R. R. Prechter, Teoria fal Elliotta, WIG – PRESS, Warszawa 1995
4. E. Gately, Cena i czas- zarys metod analizy technicznej, WIG – PRESS, Warszawa1999